40.12. Решите уравнения: а) $27^{\sqrt{x-1}}=\sqrt{9^{x+1}}$; б) $2^{\sqrt{13-x^2}}=\sqrt2\cdot\sqrt{32}$; в) $3^x\cdot\left(\frac13\right)^{\sqrt{x+1}}=243$; г) $(0{,}1^{\sqrt{x+1}})^{\sqrt{x+6}}=\frac1{10^6}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 40.12. Решите уравнения: а) $27^{\sqrt{x-1}}=\sqrt{9^{x+1}}$; б) $2^{\sqrt{13-x^2}}=\sqrt2\cdot\sqrt{32}$; в)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Область определения: $x\ge1$. Приводим к основанию 3: $3^{3\sqrt{x-1}}=3^{x+1}$, то есть $3\sqrt{x-1}=x+1$. Возводим в квадрат: $9(x-1)=(x+1)^2$, откуда $(x-2)(x-5)=0$. Оба значения подходят.
б) Правая часть равна $\sqrt{64}=8=2^3$. Поэтому $\sqrt{13-x^2}=3$, откуда $x^2=4$, и $x=\pm2$.
в) Область определения: $x\ge-1$. Получаем $3^{x-\sqrt{x+1}}=3^5$, значит, $x-\sqrt{x+1}=5$. Положив $t=\sqrt{x+1}$, имеем $t^2-t-6=0$. С учётом $t\ge0$, $t=3$, поэтому $x=8$.
г) Область определения: $x\ge-1$. Левая часть равна $10^{-\sqrt{(x+1)(x+6)}}$, правая — $10^{-6}$. Следовательно, $(x+1)(x+6)=36$, то есть $(x-3)(x+10)=0$. Условию области определения удовлетворяет только $x=3$.

Ответ: а) $2; 5$; б) $-2; 2$; в) $8$; г) $3$.

40.12. Решите уравнения: а) \(27^{\sqrt{x-1}}=\sqrt{9^{x+1}}\); б) \(2^{\sqrt{13-x^2}}=\sqrt2\cdot\sqrt{32}\); в) \(3^x\cdot\left(\frac13\right)^{\sqrt{x+1}}=243\); г) \((0{,}1^{\sqrt{x+1}})^{\sqrt{x+6}}=\frac1{10^6}\).