40.35. Решите неравенство: а) 2^(3x+6) ≤ (1/4)^(x−1); б) (7/12)^(−2x+3) > (12/7)^(3+2x); в) 25^(−x+3) ≥ (1/5)^(3x−1); г) (5/3)^(2x−8) < (9/25)^(−x+3).

Question

Вопрос:

Фото задания: 40.35. Решите неравенство: а) 2^(3x+6) ≤ (1/4)^(x−1); б) (7/12)^(−2x+3) > (12/7)^(3+2x); в) 25^(−x+3) ≥ (1/5)^(3x−1); г)…

40.35. Решите неравенство: а) 2^(3x+6) ≤ (1/4)^(x−1); б) (7/12)^(−2x+3) > (12/7)^(3+2x); в) 25^(−x+3) ≥ (1/5)^(3x−1); г) (5/3)^(2x−8) < (9/25)^(−x+3).

Accepted Answer

а) \(\left(\frac14\right)^{x-1}=2^{-2x+2}\). Поэтому \(3x+6\le-2x+2\), откуда \(x\le-\frac45\).

б) \(\frac{12}{7}=\left(\frac7{12}\right)^{-1}\). Получаем \(-2x+3<-3-2x\), что невозможно. Решений нет.

в) Представим обе части через основание 5: \(25^{-x+3}=5^{-2x+6}\), \(\left(\frac15\right)^{3x-1}=5^{-3x+1}\). Тогда \(-2x+6\ge-3x+1\), откуда \(x\ge-5\).

г) \(\frac9{25}=\left(\frac53\right)^{-2}\), поэтому \(2x-8<2x-6\). Это верно при любом \(x\).

Ответ: а) \(x\le-\frac45\); б) решений нет; в) \(x\ge-5\); г) \(x\in\mathbb R\).