40.38. Решите неравенство: а) √(2^(−1)) · √(2^(x²−7,5)) ≥ 2^(−7); б) 0,9^(x²−4x) < (10/9)^3; в) 14^(x²+x) ≤ 196; г) (1/√3)^(3x²−13x) > 9.

а) Левая часть равна \(2^{\frac{x^2-8,5}{2}}\). Поэтому \(\frac{x^2-8,5}{2}\ge-7\), то есть \(x^2\ge-5,5\). Это верно для всех действительных \(x\).

б) \(\frac{10}{9}=(0,9)^{-1}\). Так как основание меньше единицы, \(x^2-4x>-3\). Получаем \((x-1)(x-3)>0\), откуда \(x<1\) или \(x>3\).

в) \(196=14^2\), поэтому \(x^2+x\le2\). Следовательно, \((x+2)(x-1)\le0\), откуда \(-2\le x\le1\).

г) \(9=\left(\frac1{\sqrt3}\right)^{-4}\). При основании меньше единицы: \(3x^2-13x<-4\), или \(3x^2-13x+4<0\). Корни: \(\frac13\) и \(4\), поэтому \(\frac13

Ответ: а) \(x\in\mathbb R\); б) \(x<1\) или \(x>3\); в) \([-2;1]\); г) \(\left(\frac13;4\right)\).