42. Основанием пирамиды является квадрат, одно из боковых ребер перпендикулярно к плоскости основания. Плоскость боковой грани, не проходящей через высоту пирамиды, наклонена к плоскости основания под углом 45°. Наибольшее боковое ребро равно 12 см. Найдите: а) высоту пирамиды; б) площадь боковой поверхности пирамиды.

Пусть сторона квадрата равна \(a\), а высота пирамиды — \(h\). Высота опускается в вершину квадрата, поскольку боковое ребро перпендикулярно основанию.

1. Расстояние от этой вершины до прямой противоположной стороны квадрата равно \(a\). Для наклона соответствующей боковой грани \(\tan45^\circ=h/a\), откуда \(h=a\).
2. Наибольшее боковое ребро ведёт к противоположной вершине основания. Его длина равна \(\sqrt{h^2+2a^2}=a\sqrt3=12\), поэтому \(a=h=4\sqrt3\) см.
3. Две грани, содержащие высоту, имеют суммарную площадь \(ah\). Две остальные грани имеют суммарную площадь \(a\sqrt{h^2+a^2}\).
4. Следовательно, \(S_{бок}=a^2+a^2\sqrt2=48(1+\sqrt2)\) см².

Ответ: а) \(4\sqrt3\) см; б) \(48(1+\sqrt2)\) см².