47. Двугранные углы при основании пирамиды равны. Докажите, что: а) высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в основание пирамиды; б) высоты всех боковых граней, проведённые из вершины пирамиды, равны; в) площадь боковой поверхности пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани, проведённую из вершины пирамиды.

Пусть высота пирамиды равна \(h\), а её проекция на плоскость основания — точка H. Для любой стороны основания расстояние от вершины пирамиды до содержащей эту сторону прямой есть высота соответствующей боковой грани. В прямоугольном сечении, перпендикулярном этой стороне, выполняется \(\tan\varphi=h/d\), где \(\varphi\) — двугранный угол при стороне, а \(d\) — расстояние от H до этой стороны.

1. Так как все углы \(\varphi\) равны, а высота \(h\) одна и та же, все расстояния d от H до сторон основания равны. Значит, H — центр окружности, вписанной в основание. Это доказывает а).
2. Высота боковой грани, проведённая из вершины пирамиды к стороне основания, равна \(\sqrt{h^2+d^2}\). Поскольку h и d одинаковы для всех сторон, эти высоты равны. Это доказывает б).
3. Пусть общая высота боковой грани равна l. Для каждой стороны основания длины \(a_i\) площадь соответствующей грани равна \(a_i l/2\). Складывая площади, получаем \(S_{бок}=\sum a_i l/2=Pl/2\), где P — периметр основания. Это доказывает в).