46. Высота треугольной пирамиды равна 40 см, а высота каждой боковой грани, проведенная из вершины пирамиды, равна 41 см. а) Докажите, что высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в ее основание. б) Найдите площадь основания пирамиды, если его периметр равен 42 см.

1. Пусть H — основание высоты пирамиды, а O — её вершина. Для любой стороны основания расстояние от O до этой стороны равно высоте соответствующей боковой грани и составляет 41 см.
2. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды, расстоянием от H до стороны основания и высотой боковой грани, расстояние от H до этой стороны равно \(\sqrt{41^2-40^2}=9\) см.
3. Таким образом, H равноудалена от всех сторон треугольника основания и лежит внутри него; следовательно, H — центр вписанной окружности. Это доказывает пункт а).
4. Радиус вписанной окружности равен 9 см. Площадь основания равна \(pr/2=42\cdot9/2=189\) см².

Ответ: а) высота проходит через центр вписанной окружности основания; б) 189 см².