45. Основанием пирамиды является прямоугольник, диагональ которого равна 8 см. Плоскости двух боковых граней перпендикулярны к плоскости основания, а две другие боковые грани образуют с основанием углы в 30° и 45°. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Пусть проекция вершины пирамиды на основание — вершина прямоугольника. Это следует из того, что две грани, соответствующие двум соседним сторонам основания, перпендикулярны основанию: их общая высота пирамиды проецируется на пересечение этих сторон.

1. Обозначим стороны прямоугольника, выходящие из этой вершины, через \(x\) и \(y\), высоту пирамиды через \(h\). Для граней над противоположными сторонами тангенсы углов наклона равны соответственно \(h/x\) и \(h/y\). Значит, стороны равны \(\sqrt3h\) и \(h\), в некотором порядке.
2. Диагональ равна 8 см, поэтому \(\sqrt{(\sqrt3h)^2+h^2}=2h=8\), откуда \(h=4\) см. Стороны основания: \(4\sqrt3\) см и 4 см.
3. Площадь основания равна \(16\sqrt3\) см². Две грани, перпендикулярные основанию, вместе имеют площадь \(h(x+y)/2=8\sqrt3+8\) см².
4. Для двух оставшихся граней высоты равны \(\sqrt{h^2+x^2}=8\) см и \(\sqrt{h^2+y^2}=4\sqrt2\) см. Их площади в сумме: \((4\cdot8+4\sqrt3\cdot4\sqrt2)/2=16+8\sqrt6\) см².
5. Полная площадь: \(16\sqrt3+8\sqrt3+8+16+8\sqrt6=24\sqrt3+8\sqrt6+24\) см².

Ответ: \(24\sqrt3+8\sqrt6+24\) см².