44. \( \lg (4x-2) = 5 \lg 2 - 3 \)

Решение:

Преобразуем уравнение \( \lg (4x-2) = 5 \lg 2 - 3 \).

1. Запишем 3 как логарифм по основанию 10: \( 3 = \lg 10^3 = \lg 1000 \).
2. Применим свойство логарифма степени: \( 5 \lg 2 = \lg 2^5 = \lg 32 \).
3. Подставим это в уравнение: \( \lg (4x-2) = \lg 32 - \lg 1000 \).
4. Используем свойство логарифма частного: \( \log_{a} b - \log_{a} c = \log_{a} \frac{b}{c} \). \( \lg (4x-2) = \lg \frac{32}{1000} \).
5. Сократим дробь: \( \frac{32}{1000} = \frac{8}{250} = \frac{4}{125} \).
6. Уравнение примет вид: \( \lg (4x-2) = \lg \frac{4}{125} \).
7. Если десятичные логарифмы равны, то и их аргументы равны: \( 4x-2 = \frac{4}{125} \).
8. Решим линейное уравнение: \( 4x = 2 + \frac{4}{125} \) \( \Rightarrow \) \( 4x = \frac{250+4}{125} \) \( \Rightarrow \) \( 4x = \frac{254}{125} \).
9. Разделим обе части на 4: \( x = \frac{254}{125 \cdot 4} = \frac{254}{500} = \frac{127}{250} \).
10. Проверим ОДЗ: \( 4x-2 > 0 \) \( \Rightarrow \) \( 4x > 2 \) \( \Rightarrow \) \( x > \frac{2}{4} = 0.5 \). \( x = \frac{127}{250} = 0.508 \) удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: \( x = \frac{127}{250} \).