51. \( \lg (2-x) = 2 \lg 4 - \lg 2 \)

Решение:

Преобразуем уравнение \( \lg (2-x) = 2 \lg 4 - \lg 2 \).

1. Применим свойство логарифма степени: \( 2 \lg 4 = \lg 4^2 = \lg 16 \).
2. Подставим это в уравнение: \( \lg (2-x) = \lg 16 - \lg 2 \).
3. Используем свойство логарифма частного: \( \log_{a} b - \log_{a} c = \log_{a} \frac{b}{c} \). \( \lg (2-x) = \lg \frac{16}{2} \) \( \Rightarrow \) \( \lg (2-x) = \lg 8 \).
4. Если десятичные логарифмы равны, то и их аргументы равны: \( 2-x = 8 \).
5. Решим линейное уравнение: \( -x = 8 - 2 \) \( \Rightarrow \) \( -x = 6 \).
6. Умножим обе части на -1: \( x = -6 \).
7. Проверим ОДЗ: \( 2-x > 0 \) \( \Rightarrow \) \( 2 > x \). Наше значение \( x = -6 \) удовлетворяет условию \( 2 > -6 \).

Ответ: \( x = -6 \).