47. Биссектриса угла B параллелограмма ABCD пересекает сторону CD в точке M. Серединный перпендикуляр отрезка BM пересекает сторону AB в точке N. Найдите периметр четырёхугольника BCMN, если BN = 8 см.

Так как BN лежит на AB, а AB ∥ CD, то BN ∥ CM. По построению N лежит на серединном перпендикуляре BM, поэтому NB = NM. Значит, NM = 8 см.

Пусть AB = CD = L. Поскольку BM — биссектриса угла ABC, ∠ABM = ∠MBC. Из параллельности AB и CD следует ∠ABM = ∠BMC. Следовательно, ∠BMC = ∠MBC, и треугольник BCM равнобедренный: BC = CM.

Четырёхугольник BCMN имеет периметр BC + CM + MN + NB = 2CM + 16. Но из данных следует только NB = 8; длина CM, а значит и периметр, не определяется: можно менять длину AB, сохраняя BN = 8 и положения точек согласно условию. Для однозначного ответа не хватает дополнительного ограничения, например длины стороны или положения M.