47. Верно ли, что при всех значениях a, отличных от −2 и 2, значение дроби (a² − 4)/(12 + a² − a⁴) является отрицательным числом? 1) Выберите произвольное значение a, отличное от −2 и 2, и сравните с нулём соответствующее значение дроби. 2) Обсудите, какое преобразование дроби помогло найти ответ на вопрос задачи. 3) Выполните это преобразование и сделайте вывод.

1) Возьмём, например, \(a=0\): \(\dfrac{0^2-4}{12+0^2-0^4}=-\dfrac{4}{12}=-\dfrac13<0\).

2) Чтобы ответить для всех допустимых значений, удобно разложить числитель и знаменатель на множители.

3) Имеем \(a^2-4=-(4-a^2)\) и \(12+a^2-a^4=(4-a^2)(a^2+3)\). Поэтому при \(a\ne\pm2\): \(\dfrac{a^2-4}{12+a^2-a^4}=-\dfrac{1}{a^2+3}\). Поскольку \(a^2+3>0\) для любого действительного \(a\), дробь всегда отрицательна.

Ответ: да, при всех указанных значениях a дробь отрицательна.