5. \(2\cdot 2^{2x}-3\cdot 10^x-5\cdot 5^{2x}=0\)

Положим \(t=\left(\frac{2}{5}\right)^x\), поэтому \(t>0\). Разделим уравнение на \(5^{2x}>0\):

\(2t^2-3t-5=0\).

Корни квадратного уравнения: \(t=\frac{3\pm7}{4}\), то есть \(t=\frac52\) или \(t=-1\). Так как \(t>0\), оставляем \(t=\frac52\). Следовательно, \(\left(\frac25\right)^x=\frac52=\left(\frac25\right)^{-1}\), откуда \(x=-1\).

Ответ: \(x=-1\).