6. \(2^x-2=(x-1)^2\)

Проверим простое значение \(x=1\): левая часть равна \(2-2=0\), правая — \(0^2=0\).

Докажем, что других корней нет. Рассмотрим \(f(x)=2^x-2-(x-1)^2\). При \(x<1\) имеем \(2^x<2\), поэтому \(2^x-2<0\), а \(-(x-1)^2\leq0\); значит, \(f(x)<0\). При \(x>1\) производная \(f'(x)=2^x\ln 2-2(x-1)\) положительна: при \(x>1\), \(2^x\ln2>2(x-1)\) (например, из \(e^u>1+u\) для \(u>0\), положив \(u=(x-1)\ln2\)). Значит, \(f\) возрастает после 1 и \(f(x)>f(1)=0\).

Ответ: \(x=1\).