5. ABCD — параллелограмм. Диагональ AC пересекается с перпендикулярами BE и DP в точках E и P соответственно: BE ⟂ AC, DP ⟂ AC. Доказать: AP = CE.

Пусть O — точка пересечения диагоналей параллелограмма. Она является центром центральной симметрии, переводящей A в C и B в D. Прямая AC при этой симметрии переходит в себя, а перпендикуляр из B к AC переходит в перпендикуляр из D к AC. Поэтому точка E переходит в P.

Значит, O — середина EP. Также O — середина AC. На одной прямой точки расположены в порядке A, P, O, E, C (или в обратном порядке), поэтому равные половины соответствующих отрезков дают AP = CE.

Что и требовалось доказать.