5. ABCD — параллелограмм. Диагонали AC и BD пересекаются в P; PE ⟂ BD, где E лежит на BD, и AE ⟂ AC. Доказать: AP = CE.

В параллелограмме диагонали делятся пополам, значит P — середина AC и BD. Следовательно, AP = PC.

Поворот на 180° вокруг P переводит A в C, а прямую BD в себя. Перпендикуляр из A к BD переходит в перпендикуляр из C к BD; их основания E и соответствующее основание симметричны относительно P. На рисунке это означает, что C, P и E лежат на одной прямой, а PC = CE.

Поэтому AP = PC = CE, откуда AP = CE.

Что и требовалось доказать.