5. Дана прямоугольная трапеция, большее основание которой равно 12 см, а радиус вписанной в нее окружности – 3 см. Найдите площадь трапеции.

В прямоугольной трапеции, в которую можно вписать окружность, сумма боковых сторон равна сумме оснований. Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности, то есть 2 * 3 = 6 см. Пусть a и b - основания, h - высота. Средняя линия трапеции m = (a + b) / 2. Площадь трапеции равна S = m * h. В прямоугольной трапеции, описанной около окружности, сумма оснований равна сумме боковых сторон. Также, высота трапеции равна диаметру окружности h = 2 * r = 2 * 3 = 6 cм. Сумма оснований равна сумме боковых сторон. Пусть а = 12, значит (12 + b) = (6 + c). Так как трапеция описана вокруг окружности (a + b) = c + h. a + b = 12 + b. c + h = c + 6. Так как a+b = c+h => 12+b= c+6, так как h=2r=6. У нас a + b = 2 * (радиус * 2 + средняя линия. То есть 12+b = x + x => 12 +b = 2x => x = (12+b)/2. S = h*(a+b)/2 = h * средняя линия = 6 * (a+b) / 2 . У трапеции вписанной в окружность сумма оснований равна сумме сторон, то есть 2 * 2 * r, то есть 2 * 6 = 12. Тогда a+b = 12 +b. 12 + b = 2* (sqrt((12-b)^2+36))=> a + b = 12+6. S = 6 * (12+6) /2 = 54. Площадь трапеции равна S = (a+b)/2 * h = (a+b)/2 *2r = r*(a+b). (a+b)/2 = средняя линия = l. Так как это описанная трапеция, то a + b = сумма боковых сторон, а это тоже самое, что 2 * наклонная. a + b = 2* высота вписанной окружности. Получается a + b = 2* диаметр = 4 * 3 = 12. S= (a+b)/2 *h = 12 * 6/ 2 = 36 + 6b . Если большая основа = 12 то сумма основ равна 2 высоты = 12. 12 + b = 2* sqrt((12-b)^2 +36) S = 6 * (12+b)/2 = 3 * (12 +b) Площадь трапеции = полусумма оснований * высоту = радиус вписанной окружности * сумму боковых сторон. Площадь = 3 * (12 + 6) = 3 * 18 = 54 Площадь = 1/2 * (12+6)* 6 = 1/2 *18*6 =54. Ответ: 54 кв. см.