5. Дано: ∠MAB + ∠AA₁B₁ = 180°, ∠MAC + ∠AA₁C₁ = 180°. Докажите, что (ABC) ∥ (A₁B₁C₁).

Так как точки A, A₁, M лежат на одной прямой, из равенства ∠MAB + ∠AA₁B₁ = 180° следует, что AB ∥ A₁B₁: внутренние односторонние углы при пересечении прямых AB и A₁B₁ секущей AA₁ в сумме равны 180°.

Аналогично из ∠MAC + ∠AA₁C₁ = 180° следует, что AC ∥ A₁C₁.

Прямые AB и AC пересекаются и лежат в плоскости (ABC); параллельные им прямые A₁B₁ и A₁C₁ пересекаются и лежат в плоскости (A₁B₁C₁). Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.

Ответ: (ABC) ∥ (A₁B₁C₁).