7. Дано: α ∥ β, AB = 18, MA = 24, MA₁ : AA₁ = 3 : 2. Найдите A₁B₁ и MA₁.

Пусть MA₁ = 3x, AA₁ = 2x. Так как A лежит между M и A₁, MA₁ = MA + AA₁. Поэтому 3x = 24 + 2x, откуда x = 24. Значит, MA₁ = 72, AA₁ = 48. Исправление: по рисунку A₁ находится дальше от M, чем A, поэтому соотношение MA₁:AA₁ относится именно к этим длинам; подстановка даёт MA₁ = 24 + AA₁ и MA₁ = 3x, AA₁ = 2x, откуда x = 24 и MA₁ = 72.

Треугольники MAB и MA₁B₁ подобны, поэтому A₁B₁/AB = MA₁/MA = 72/24 = 3. Следовательно, A₁B₁ = 3 · 18 = 54.

Ответ: A₁B₁ = 54, MA₁ = 72.