5. Докажите, что если диагонали прямоугольника перпендикулярны, то он является квадратом.

Пусть ABCD — прямоугольник, диагонали которого перпендикулярны.

1. Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам.
2. Рассмотрим треугольники AOB и BOC, где O — точка пересечения диагоналей. Они прямоугольные, имеют общий катет OB и равные гипотенузы \(AC:2=BD:2\). Следовательно, треугольники равны.
3. Из равенства треугольников следует \(AB=BC\).
4. В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому все четыре стороны равны.
5. Прямоугольник с четырьмя равными сторонами является квадратом.

Что и требовалось доказать.