5. Докажите, что прямые AB и B₁D скрещиваются.

Введём координаты куба: A(0; 0; 0), B(0; a; 0), D(a; 0; 0), B₁(0; a; a). Направляющий вектор AB — (0; 1; 0), а направляющий вектор B₁D — (1; −1; −1). Они не пропорциональны, поэтому прямые не параллельны. Кроме того, прямая AB лежит в плоскости z = 0, а B₁D пересекает её в точке D, не лежащей на AB. Значит, прямые не пересекаются и скрещиваются.