5) $$\frac{27^2 \cdot 9^4}{81^2}$$

Решение:

Все основания (27, 9, 81) можно привести к основанию 3.

1. Представим числа как степени тройки: \( 27 = 3^3 \), \( 9 = 3^2 \), \( 81 = 3^4 \).
2. Подставим эти значения в выражение: \( \frac{(3^3)^2 \cdot (3^2)^4}{(3^4)^2} \).
3. Возведение степени в степень: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \). Выполним умножение степеней в числителе и знаменателе: \( \frac{3^{3 \cdot 2} \cdot 3^{2 \cdot 4}}{3^{4 \cdot 2}} = \frac{3^6 \cdot 3^8}{3^8} \).
4. Умножение степеней с одинаковым основанием: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \). В числителе: \( 3^{6+8} = 3^{14} \).
5. Теперь выражение выглядит так: \( \frac{3^{14}}{3^8} \).
6. Деление степеней с одинаковым основанием: \( a^m : a^n = a^{m-n} \). Вычитаем степени: \( 3^{14-8} = 3^6 \).
7. Вычисляем результат: \( 3^6 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 729 \).

Ответ: 729