5. Касательные в точках А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 76°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Привет! Давай разберемся с этой задачей на касательные.

Дано:

• Касательные к окружности с центром О в точках А и В пересекаются под углом 76°.

Найти: Угол АВО.

Решение:

1. Свойства касательной и радиуса: Радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной. Значит,
   ol=
   OAB = 90° и
   ol=
   OBA = 90°.
2. Четырехугольник: Рассмотрим четырехугольник, образованный точками пересечения касательных (назовем ее точкой Р), точками касания А и В, и центром окружности О. Это четырехугольник РАОВ.
3. Сумма углов четырехугольника: Сумма углов четырехугольника равна 360°.
4. Угол АОВ:

ol=
PAO +
ol=
PBO +
ol=
AOB +
ol=
APB = 360°

ol=
OAB = 90°

ol=
OBA = 90°

ol=
APB = 76° (дано по условию)

ol=
AOB = 360° - 90° - 90° - 76° = 112°

Треугольник АОВ: Рассмотрим треугольник АОВ. ОА и ОВ — это радиусы окружности, поэтому они равны. Треугольник АОВ — равнобедренный.

ol=
OAB =
ol=
OBA. Но это не совсем так, мы уже знаем, что
ol=
OBA=90. Мы ищем угол АВО. АВО это часть угла OBA, что не верно. Угол АВО это угол у основания треугольника АОВ.

ol=
OAB =
ol=
OBA (это углы при основании равнобедренного треугольника АОВ)

ol=
AOB +
ol=
OAB +
ol=
OBA = 180°

112° + 2 *
ol=
OBA = 180°

2 *
ol=
OBA = 180° - 112°

2 *
ol=
OBA = 68°

ol=
OBA = 34°

Угол АВО равен 34°.

Ответ:

34