5) \(\lim_{x\to0}(1+2x)^{\frac{8}{x}}\)

Представим степень как произведение: \((1+2x)^{8/x}=((1+2x)^{1/(2x)})^{16}\).

При \(x\to0\), по второму замечательному пределу, \((1+2x)^{1/(2x)}\to e\). Значит, исходный предел равен \(e^{16}\).

Ответ: \(e^{16}\).