6) \(\lim_{x\to0}\left(1+\frac{5x}{7}\right)^{\frac{3}{5x}}\)

Положим \(u=\frac{5x}{7}\). Тогда показатель степени равен \(\frac{3}{5x}=\frac{3}{7u}\), а при \(x\to0\) имеем \(u\to0\).

Получаем \(((1+u)^{1/u})^{3/7}\to e^{3/7}\) по второму замечательному пределу.

Ответ: \(e^{3/7}\).