5. Мяч бросили вертикально вверх с поверхности земли со скоростью 20 м/с. Определите максимальную высоту подъёма, время подъёма, высоту и скорость мяча через 3 с после броска, а также моменты времени, когда мяч находится на высоте 15 м. Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения принять равным 10 м/с².

Выберем направление вверх за положительное. Тогда \(y=20t-5t^2\), \(v=20-10t\).

1. В наивысшей точке скорость равна нулю: \(20-10t=0\), поэтому время подъёма \(2\text{ с}\). Максимальная высота: \(y(2)=40-20=20\text{ м}\).

2. Через 3 с: \(y(3)=60-45=15\text{ м}\), \(v(3)=20-30=-10\text{ м/с}\), то есть скорость направлена вниз.

3. Для высоты 15 м решаем \(20t-5t^2=15\), или \(t^2-4t+3=0\). Получаем \(t=1\text{ с}\) и \(t=3\text{ с}\).

Ответ: максимальная высота — \(20\text{ м}\), время подъёма — \(2\text{ с}\); через 3 с высота — \(15\text{ м}\), скорость — \(10\text{ м/с}\) вниз; высоты 15 м мяч достигает через \(1\text{ с}\) и \(3\text{ с}\).