5. На рисунке: QN = 12, QM = 6, MN = 10, MK ⟂ QN, MK = x, KN = y. Найти x и y.

Обозначим QK = a. Тогда a + y = 12. По теореме Пифагора:

\(a^2+x^2=36\), \(y^2+x^2=100\).

Вычитаем первое равенство из второго: \(y^2-a^2=64\), то есть \((y-a)(y+a)=64\). Так как \(y+a=12\), получаем \(y-a=\frac{16}{3}\).

Решая систему \(y+a=12\), \(y-a=\frac{16}{3}\), находим \(y=\frac{26}{3}\), \(a=\frac{10}{3}\). Тогда \(x^2=36-\left(\frac{10}{3}\right)^2=\frac{224}{9}\), поэтому \(x=\frac{4\sqrt{14}}{3}\).

Ответ: \(x=\frac{4\sqrt{14}}{3},\ y=\frac{26}{3}\).