5. На стороне АС треугольника АВС отмечена точка D так, что AD = 3, DC = 10. Площадь треугольника АВС равна 39. Найдите площадь треугольника ABD.

Решение:

Треугольники \( ABD \) и \( CBD \) имеют одинаковую высоту, проведённую из вершины \( B \) к основанию \( AC \).

Пусть \( h \) — эта высота.

Площадь треугольника \( ABC \) равна \( S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot h \). Длина основания \( AC = AD + DC = 3 + 10 = 13 \).

Нам дана площадь \( S_{ABC} = 39 \). Следовательно:

\[ 39 = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot h \]

\[ h = \frac{2 \cdot 39}{13} = \frac{78}{13} = 6 \]

Теперь найдём площадь треугольника \( ABD \):

\[ S_{ABD} = \frac{1}{2} AD \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9 \]

Ответ: 9.