7. В равнобедренной трапеции основания равны 2 и 8, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой трапеции.

Решение:

Площадь трапеции вычисляется по формуле: \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \), где \( a \) и \( b \) — основания, \( h \) — высота.

Дано: \( a = 8 \), \( b = 2 \), угол при основании \( \cdot = 45^\cdot \).

Найдём высоту \( h \). Опустим высоту из вершины верхнего основания на нижнее. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, боковой стороной и частью нижнего основания, угол равен 45°.

Часть нижнего основания, отсекаемая высотой, равна \( \frac{a-b}{2} = \frac{8-2}{2} = \frac{6}{2} = 3 \).

Так как угол равен 45°, то высота \( h \) равна этой части нижнего основания, то есть \( h = 3 \).

Теперь вычислим площадь трапеции:

\[ S = \frac{8+2}{2} \cdot 3 = \frac{10}{2} \cdot 3 = 5 \cdot 3 = 15 \]

Ответ: 15.