5. Найдите длину вектора \(\vec{AB}\), если A(1; −2; 3), B(4; 1; −1).

Решение:

Длина вектора \(\vec{AB}\) вычисляется по формуле:

\[ |\vec{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \]

где \((x_1, y_1, z_1)\) - координаты точки A, а \((x_2, y_2, z_2)\) - координаты точки B.

Подставим значения:

\(x_1 = 1, y_1 = -2, z_1 = 3\) \(x_2 = 4, y_2 = 1, z_2 = -1\)

\[ |\vec{AB}| = \sqrt{(4 - 1)^2 + (1 - (-2))^2 + (-1 - 3)^2} \] \( |\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + (1 + 2)^2 + (-4)^2} \) \( |\vec{AB}| = \sqrt{9 + 3^2 + 16} \) \( |\vec{AB}| = \sqrt{9 + 9 + 16} \) \( |\vec{AB}| = \sqrt{34} \)

Ответ: \(\sqrt{34}\).