5. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции y = x³ + 2x² – 4x + 4 на отрезке [-2; 0]

Решение:

1. Найдем производную функции: \( y' = 3x^2 + 4x - 4 \).
2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: \( 3x^2 + 4x - 4 = 0 \).
3. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = 4^2 - 4 · 3 · (-4) = 16 + 48 = 64 \).
4. Корни: \( x_1 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 + 8}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \) и \( x_2 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 - 8}{6} = \frac{-12}{6} = -2 \).
5. Из критических точек \( x = \frac{2}{3} \) и \( x = -2 \) только \( x = -2 \) принадлежит отрезку [-2; 0].
6. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке, принадлежащей отрезку:
   • \( y(-2) = (-2)^3 + 2(-2)^2 - 4(-2) + 4 = -8 + 2(4) + 8 + 4 = -8 + 8 + 8 + 4 = 12 \).
   • \( y(0) = 0^3 + 2(0)^2 - 4(0) + 4 = 4 \).
7. Сравним полученные значения: наибольшее значение функции равно 12 (при \( x = -2 \)), а наименьшее — 4 (при \( x = 0 \)).

Ответ: Наибольшее значение функции равно 12, наименьшее — 4.