7. Вычислить определитель матрицы любыми тремя методами А₉ = \(\begin{pmatrix} 5 & 1 & -4 \\ -3 & -2 & 7 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}\)

Решение:

Будем вычислять определитель матрицы \( A = \begin{pmatrix} 5 & 1 & -4 \\ -3 & -2 & 7 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \) тремя способами.

Метод 1: Разложение по первой строке

\( \det(A) = 5 \cdot \begin{vmatrix} -2 & 7 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} -3 & 7 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + (-4) \cdot \begin{vmatrix} -3 & -2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} \)

Вычислим определители 2x2 матриц:

• \( \begin{vmatrix} -2 & 7 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = (-2)(1) - (7)(-1) = -2 + 7 = 5 \)
• \( \begin{vmatrix} -3 & 7 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = (-3)(1) - (7)(0) = -3 - 0 = -3 \)
• \( \begin{vmatrix} -3 & -2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = (-3)(-1) - (-2)(0) = 3 - 0 = 3 \)

Подставим значения:

\( \det(A) = 5 \cdot 5 - 1 \cdot (-3) - 4 \cdot 3 = 25 + 3 - 12 = 16 \)

Метод 2: Разложение по третьему столбцу

\( \det(A) = -4 \cdot \begin{vmatrix} -3 & -2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} - 7 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 1 \\ -3 & -2 \end{vmatrix} \)

Вычислим определители 2x2 матриц:

• \( \begin{vmatrix} -3 & -2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = (-3)(-1) - (-2)(0) = 3 \)
• \( \begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = (5)(-1) - (1)(0) = -5 \)
• \( \begin{vmatrix} 5 & 1 \\ -3 & -2 \end{vmatrix} = (5)(-2) - (1)(-3) = -10 + 3 = -7 \)

Подставим значения:

\( \det(A) = -4 \cdot 3 - 7 \cdot (-5) + 1 \cdot (-7) = -12 + 35 - 7 = 16 \)

Метод 3: Правило Саррюса (для 3x3 матриц)

Добавим первые два столбца матрицы справа:

\( \begin{vmatrix} 5 & 1 & -4 & | & 5 & 1 \\ -3 & -2 & 7 & | & -3 & -2 \\ 0 & -1 & 1 & | & 0 & -1 \end{vmatrix} \)

Вычислим сумму произведений диагоналей, идущих слева направо, и вычтем сумму произведений диагоналей, идущих справа налево:

\( \det(A) = (5 · (-2) · 1 + 1 · 7 · 0 + (-4) · (-3) · (-1)) - ((-4) · (-2) · 0 + 5 · 7 · (-1) + 1 · (-3) · 1) \)

\( \det(A) = (-10 + 0 - 12) - (0 - 35 - 3) \)

\( \det(A) = -22 - (-38) \)

\( \det(A) = -22 + 38 = 16 \)

Ответ: 16.