5. Найдите наименьшее целое число из промежутка убывания функции $$f(x) = x^3 + 8x^2 - 4$$.

Пошаговое решение:

1. Найдем производную функции:
• $$f'(x) = (x^3 + 8x^2 - 4)' = 3x^2 + 16x$$.
2. Найдем точки, в которых производная равна нулю, чтобы определить границы промежутков:
• $$3x^2 + 16x = 0$$
• $$x(3x + 16) = 0$$
• $$x_1 = 0$$ или $$3x + 16 = 0 ightarrow x_2 = -rac{16}{3}$$.
3. Определим знаки производной на интервалах $$(-∞, -rac{16}{3})$$, $$(-rac{16}{3}, 0)$$ и $$(0, ∞)$$:
• При $$x < -rac{16}{3}$$ (например, $$x = -6$$): $$f'(-6) = 3(-6)^2 + 16(-6) = 3(36) - 96 = 108 - 96 = 12 > 0$$ (функция возрастает).
• При $$-rac{16}{3} < x < 0$$ (например, $$x = -1$$): $$f'(-1) = 3(-1)^2 + 16(-1) = 3 - 16 = -13 < 0$$ (функция убывает).
• При $$x > 0$$ (например, $$x = 1$$): $$f'(1) = 3(1)^2 + 16(1) = 3 + 16 = 19 > 0$$ (функция возрастает).
4. Промежуток убывания функции: $$(-rac{16}{3}, 0)$$.
5. $$-rac{16}{3} = -5 rac{1}{3}$$.
6. Наименьшее целое число в промежутке $$(-5 rac{1}{3}, 0)$$ — это $$-5$$.

Ответ: -5