7. Две точки движутся по законам $$x_1(t) = 4t^2 + 2$$ и $$x_2(t) = 3t^2 + 4t - 1$$ (х — в метрах, t — в секундах). Найдите скорости движения точек в те моменты, когда пройденные ими расстояния равны.

Пошаговое решение:

1. Найдем скорости движения точек, взяв производные от их координат по времени:
• $$v_1(t) = x_1'(t) = (4t^2 + 2)' = 8t$$.
• $$v_2(t) = x_2'(t) = (3t^2 + 4t - 1)' = 6t + 4$$.
2. Найдем моменты времени, когда пройденные расстояния равны, приравняв уравнения координат:
• $$x_1(t) = x_2(t)$$
• $$4t^2 + 2 = 3t^2 + 4t - 1$$
• $$4t^2 - 3t^2 - 4t + 2 + 1 = 0$$
• $$t^2 - 4t + 3 = 0$$.
3. Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
• $$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(3) = 16 - 12 = 4$$.
• $$\( \sqrt{D} = \sqrt{4} = 2 \)$$.
4. Найдем корни уравнения (моменты времени):
• $$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 2}{2 imes 1} = \frac{6}{2} = 3$$ с.
• $$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 2}{2 imes 1} = \frac{2}{2} = 1$$ с.
5. Найдем скорости движения точек в эти моменты времени:
• В момент $$t_1 = 3$$ с:
• $$v_1(3) = 8 imes 3 = 24$$ м/с.
• $$v_2(3) = 6 imes 3 + 4 = 18 + 4 = 22$$ м/с.
• В момент $$t_2 = 1$$ с:
• $$v_1(1) = 8 imes 1 = 8$$ м/с.
• $$v_2(1) = 6 imes 1 + 4 = 6 + 4 = 10$$ м/с.

Ответ: В момент $$t=1$$ с скорости равны 8 м/с и 10 м/с. В момент $$t=3$$ с скорости равны 24 м/с и 22 м/с.