8. Найдите наибольшее значение функции $$f(x)=\frac{x}{3}+\frac{3}{x}$$ на отрезке $$[-5; -1]$$.

Пошаговое решение:

1. Найдем производную функции:
• $$f(x) = \frac{x}{3} + 3x^{-1}$$.
• $$f'(x) = (\frac{x}{3} + 3x^{-1})' = \frac{1}{3} + 3(-1)x^{-2} = \frac{1}{3} - \frac{3}{x^2}$$.
2. Найдем точки, в которых производная равна нулю:
• $$rac{1}{3} - \frac{3}{x^2} = 0$$
• $$rac{1}{3} = \frac{3}{x^2}$$
• $$x^2 = 9$$
• $$x = ± 3$$.
3. Определим, какие из найденных точек попадают в заданный отрезок $$[-5; -1]$$. Точка $$x = -3$$ попадает в отрезок, а $$x = 3$$ — нет.
4. Вычислим значения функции на концах отрезка и в точке экстремума, попавшей на отрезок:
• При $$x = -5$$: $$f(-5) = \frac{-5}{3} + \frac{3}{-5} = -\frac{5}{3} - \frac{3}{5} = \frac{-25 - 9}{15} = -\frac{34}{15} ≈ -2.27$$.
• При $$x = -1$$: $$f(-1) = \frac{-1}{3} + \frac{3}{-1} = -\frac{1}{3} - 3 = -\frac{1+9}{3} = -\frac{10}{3} ≈ -3.33$$.
• При $$x = -3$$: $$f(-3) = \frac{-3}{3} + \frac{3}{-3} = -1 - 1 = -2$$.
5. Сравним полученные значения: $$-2.27$$, $$-3.33$$, $$-2$$. Наибольшее значение равно $$-2$$.

Ответ: -2