5. Найдите точку максимума функции f(x) = 5 + 12x - x³

Решение:

1. Найдем производную функции \( f(x) \): \( f'(x) = (5 + 12x - x^3)' = 12 - 3x^2 \)
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 12 - 3x^2 = 0 \) \( 3x^2 = 12 \) \( x^2 = 4 \) \( x = \pm 2 \)
3. Исследуем знак производной на интервалах \( (-\infty, -2) \), \( (-2, 2) \), \( (2, \infty) \).
4. Возьмём тестовую точку из \( (-\infty, -2) \), например, \( x = -3 \): \( f'(-3) = 12 - 3(-3)^2 = 12 - 3(9) = 12 - 27 = -15 \) (производная отрицательна, функция убывает).
5. Возьмём тестовую точку из \( (-2, 2) \), например, \( x = 0 \): \( f'(0) = 12 - 3(0)^2 = 12 \) (производная положительна, функция возрастает).
6. Возьмём тестовую точку из \( (2, \infty) \), например, \( x = 3 \): \( f'(3) = 12 - 3(3)^2 = 12 - 3(9) = 12 - 27 = -15 \) (производная отрицательна, функция убывает).
7. Точка \( x = -2 \) является точкой минимума, так как производная меняет знак с минуса на плюс.
8. Точка \( x = 2 \) является точкой максимума, так как производная меняет знак с плюса на минус.

Ответ: x = 2.