7. Решите уравнение 2cos²x + 3 sinx - 3 = 0

Решение:

1. Заменим \( \cos^2 x \) через \( 1 - \sin^2 x \) по основному тригонометрическому тождеству: \( 2(1 - \sin^2 x) + 3 \sin x - 3 = 0 \)
2. Раскроем скобки: \( 2 - 2\sin^2 x + 3 \sin x - 3 = 0 \)
3. Приведём подобные члены: \( -2\sin^2 x + 3 \sin x - 1 = 0 \)
4. Умножим всё уравнение на -1 для удобства: \( 2\sin^2 x - 3 \sin x + 1 = 0 \)
5. Сделаем замену переменной: пусть \( t = \sin x \). Тогда получим квадратное уравнение: \( 2t^2 - 3t + 1 = 0 \)
6. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-3)^2 - 4(2)(1) = 9 - 8 = 1 \).
7. Корни: \( t_1 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2(2)} = \frac{4}{4} = 1 \), \( t_2 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2(2)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
8. Вернёмся к замене \( t = \sin x \).
9. Случай 1: \( \sin x = 1 \). Решение: \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.
10. Случай 2: \( \sin x = \frac{1}{2} \). Решение: \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \) или \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m \), где \( n, m \) — целые числа.

Ответ: x = \(\frac{\pi}{2} + 2\pi k\), x = \(\frac{\pi}{6} + 2\pi n\), x = \(\frac{5\pi}{6} + 2\pi m\), где \( k, n, m \) — целые числа.