6. Для функции f(x) = 3x² - 4х+2 найдите первообразную F(x), если известно, что F(-2) = -4

Решение:

1. Найдём первообразную для функции \( f(x) \) по правилу интегрирования степенной функции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \): \( F(x) = \int (3x^2 - 4x + 2) dx = 3 \frac{x^{2+1}}{2+1} - 4 \frac{x^{1+1}}{1+1} + 2x + C \)
2. Упростим: \( F(x) = 3 \frac{x^3}{3} - 4 \frac{x^2}{2} + 2x + C = x^3 - 2x^2 + 2x + C \)
3. Используем условие \( F(-2) = -4 \) для нахождения \( C \): \( (-2)^3 - 2(-2)^2 + 2(-2) + C = -4 \)
4. Вычислим: \( -8 - 2(4) - 4 + C = -4 \) \( -8 - 8 - 4 + C = -4 \) \( -20 + C = -4 \)
5. Найдём \( C \): \( C = -4 + 20 = 16 \)
6. Запишем окончательную первообразную: \( F(x) = x^3 - 2x^2 + 2x + 16 \)

Ответ: F(x) = x³ - 2x² + 2x + 16.