5. Найти сумму бесконечной убывающей геометрической прогрессии, если \(b_3=\frac23\), \(b_0=\frac{2}{81}\).

Используем формулу \(b_3=b_0q^3\):

\[q^3=\frac{b_3}{b_0}=\frac{\frac23}{\frac{2}{81}}=27,\qquad q=3.\]

Но \(|q|=3>1\), поэтому данная прогрессия не является бесконечно убывающей и её бесконечная сумма не существует.

Ответ: прогрессия не является бесконечно убывающей; суммы \(S_\infty\) не существует.