6. Записать бесконечную убывающую геометрическую прогрессию \(1,(5)\) в виде обыкновенной дроби.

Пусть \(x=1,(5)=1{,}555\ldots\). Тогда:

\[10x=15{,}555\ldots\]

Вычтем первое равенство:

\[10x-x=15{,}555\ldots-1{,}555\ldots,\qquad 9x=14.\]

Следовательно, \(x=\frac{14}{9}\).

Ответ: \(1,(5)=\frac{14}{9}\).