5. Пассажирский поезд был задержан в пути на 16 мин и нагнал опоздание на перегоне в 80 км, идя со скоростью на 10 км\ч большей, чем полагалось по расписанию. Какова была скорость поезда по расписанию.

Решение:

16 минут = \( \frac{16}{60} = \frac{4}{15} \) часа.

Пусть \( v \) — скорость поезда по расписанию (км/ч). Тогда скорость на перегоне \( v + 10 \) (км/ч).

Время в пути по расписанию на перегоне 80 км: \( t_1 = \frac{80}{v} \) (ч).

Время в пути на перегоне 80 км с увеличенной скоростью: \( t_2 = \frac{80}{v+10} \) (ч).

Разница во времени составляет 16 минут:

\[ t_1 - t_2 = \frac{4}{15} \]

\[ \frac{80}{v} - \frac{80}{v+10} = \frac{4}{15} \]

Разделим обе части на 4:

\[ \frac{20}{v} - \frac{20}{v+10} = \frac{1}{15} \]

Умножим обе части на \( 15v(v+10) \):

\[ 20 \cdot 15 (v+10) - 20 \cdot 15 v = v(v+10) \]

\[ 300(v+10) - 300v = v^2 + 10v \]

\[ 300v + 3000 - 300v = v^2 + 10v \]

\[ v^2 + 10v - 3000 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

\[ D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3000) = 100 + 12000 = 12100 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{12100} = 110 \]

\[ v = \frac{-10 + 110}{2} = \frac{100}{2} = 50 \] (км/ч)

Ответ: Скорость поезда по расписанию была 50 км/ч.