5. Плоскости α и β параллельны. Дано: a и b — скрещивающиеся прямые. Доказать: прямые AB и A₁B₁ скрещивающиеся.

Предположим, что AB и A₁B₁ не скрещиваются. Тогда они лежат в одной плоскости γ: это верно и если они пересекаются, и если они параллельны.

Точки A и A₁ принадлежат прямой a, а точки B и B₁ — прямой b. Плоскость γ содержит A, A₁, B и B₁, значит, содержит прямые a и b. Это противоречит условию, что a и b скрещиваются.

Ответ: AB и A₁B₁ — скрещивающиеся прямые.