5. Постройте график функции \(y=\frac{(x^2-5x+6)(x^2-5x+4)}{x^2-4x+3}\) и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Разложим на множители: \(y=\frac{(x-2)(x-3)(x-1)(x-4)}{(x-1)(x-3)}\). Область определения: \(x\ne1,3\). Следовательно, график — парабола \(y=(x-2)(x-4)=(x-3)^2-1\) с выколотыми точками \((1,3)\) и \((3,-1)\).

Парабола имеет вершину \((3,-1)\), но она выколота. Уровень \(m=3\) пересекает полную параболу при \(x=1\) и \(x=5\); точка при \(x=1\) исключена из области определения, остаётся ровно одно пересечение. При остальных уровнях число пересечений не равно одному.

Ответ: \(m=3\).