7. Постройте график функции \(y=\frac{1+2x}{2x^2+x}\) и определите, при каких значениях \(k\) прямая \(y=kx\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Область определения: \(x\ne0,-\frac12\). Приравняем функции: \(\frac{1+2x}{2x^2+x}=kx\). Поскольку \(2x^2+x=x(2x+1)\), а \(1+2x=2x+1\), для допустимых \(x\) получаем \(\frac1x=kx\), то есть \(kx^2=1\).

Если \(k>0\), есть два решения \(x=\pm1/\sqrt{k}\), за исключением случая, когда одно решение запрещено областью определения. Запрещённое значение \(x=-\frac12\) является решением при \(k=4\); тогда остаётся только одно допустимое решение. При \(k\le0\) решений нет (при \(k=0\) уравнение также невозможно).

Ответ: \(k=4\).