5. Решите неравенство: a) (x+6)(x-6)²(x-32) > 0; б) x³-14x²+48x ≥ 0;

Пошаговое решение:

1. a) (x+6)(x-6)²(x-32) > 0:
   Корни уравнения: x=-6, x=6 (кратности 2), x=32. Так как неравенство строгое (>), точки -6 и 32 не включаются. При x=6 выражение равно 0, поэтому эта точка не входит в решение. Интервалы: (-∞; -6), (-6; 6), (6; 32), (32; +∞). Тестовые точки: -7, 0, 7, 33. Для x=-7: (-1)(121)(-39)>0 (подходит). Для x=0: (6)(36)(-32)<0 (не подходит). Для x=7: (13)(1)( -25)<0 (не подходит). Для x=33: (39)(9)(1)>0 (подходит).
   Ответ: (-∞; -6) ∪ (32; +∞).
2. б) x³-14x²+48x ≥ 0:
   Вынесем x за скобки: x(x²-14x+48) ≥ 0. Найдем корни квадратного трехчлена x²-14x+48=0. Дискриминант D = (-14)² - 4(1)(48) = 196 - 192 = 4. Корни: x₁ = (14-√4)/2 = (14-2)/2 = 6; x₂ = (14+√4)/2 = (14+2)/2 = 8. Неравенство: x(x-6)(x-8) ≥ 0. Корни: x=0, x=6, x=8. Так как неравенство нестрогое (≥), точки 0, 6, 8 включаются. Интервалы: (-∞; 0], [0; 6], [6; 8], [8; +∞). Тестовые точки: -1, 1, 7, 9. Для x=-1: (-1)(-7)(-9)<0 (не подходит). Для x=1: (1)(-5)(-7)>0 (подходит). Для x=7: (7)(1)(-1)<0 (не подходит). Для x=9: (9)(3)(1)>0 (подходит).
   Ответ: [0; 6] ∪ [8; +∞).