5. Решите неравенство log₅ (3x-7) ≤ log₅ (x+1)

Решение:

Для решения логарифмического неравенства необходимо учесть следующие условия:

1. Область определения: Аргументы логарифмов должны быть положительны.
   \( 3x - 7 > 0
   \implies 3x > 7
   \implies x > \frac{7}{3} \)
   \( x + 1 > 0
   \implies x > -1 \)
   Объединяя оба условия, получаем \( x > \frac{7}{3} \).
2. Решаем само неравенство:
   Так как основание логарифма \( 5 > 1 \), функция \( y = \log_5 x \) возрастающая. Следовательно, если \( \log_5 A \le \log_5 B \), то \( A \le B \).
   \( 3x - 7 \le x + 1 \)
   \( 3x - x \le 1 + 7 \)
   \( 2x \le 8 \)
   \( x \le 4 \)

Теперь объединим условие области определения \( x > \frac{7}{3} \) с решением неравенства \( x \le 4 \).

Получаем интервал: \( \frac{7}{3} < x \le 4 \).

Ответ: \( x \in (\frac{7}{3}; 4] \).