7. Найдите производную функции y = x⁴ - 2x³ + 7sinx - \(\frac{1}{x^4}\)

Решение:

Чтобы найти производную функции, продифференцируем каждый член отдельно, используя правила дифференцирования:

• Производная \( x^n \) равна \( nx^{n-1} \).
• Производная \( \sin x \) равна \( \cos x \).
• Производная \( c \cdot f(x) \) равна \( c \cdot f'(x) \).
• Производная \( f(x)
  \pm g(x) \) равна \( f'(x)
  \pm g'(x) \).

Функцию \( y = x^4 - 2x^3 + 7\sin x - x^{-4} \) можно переписать для удобства дифференцирования.

\( y' = (x^4)' - (2x^3)' + (7\sin x)' - (x^{-4})' \)

\( (x^4)' = 4x^{4-1} = 4x^3 \)

\( (2x^3)' = 2 \cdot (x^3)' = 2 \cdot 3x^{3-1} = 6x^2 \)

\( (7\sin x)' = 7 \cdot (\sin x)' = 7\cos x \)

\( (x^{-4})' = -4x^{-4-1} = -4x^{-5} = -\frac{4}{x^5} \)

Соберём всё вместе:

\( y' = 4x^3 - 6x^2 + 7\cos x - (-\frac{4}{x^5}) \)

\( y' = 4x^3 - 6x^2 + 7\cos x + \frac{4}{x^5} \)

Ответ: \( y' = 4x^3 - 6x^2 + 7\cos x + \frac{4}{x^5} \).