8. Найдите все первообразные для функции f(x) = x² - 1 + 6ˣ

Решение:

Первообразная функции \( F(x) \) находится путём интегрирования функции \( f(x) \) по \( x \).

Используем правила интегрирования:

• \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \)
• \( \int c dx = cx + C \)
• \( \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \)
• \( \int (f(x)
  \pm g(x)) dx = \int f(x) dx
  \pm \int g(x) dx \)

Интегрируем функцию \( f(x) = x^2 - 1 + 6^x \):

\( F(x) = \int (x^2 - 1 + 6^x) dx \)

\( F(x) = \int x^2 dx - \int 1 dx + \int 6^x dx \)

\( F(x) = \frac{x^{2+1}}{2+1} - 1 \cdot x + \frac{6^x}{\ln 6} + C \)

\( F(x) = \frac{x^3}{3} - x + \frac{6^x}{\ln 6} + C \), где \( C \) — константа интегрирования.

Ответ: \( F(x) = \frac{x^3}{3} - x + \frac{6^x}{\ln 6} + C \).