5. Решите уравнение: 1) log₂ x + log₂(x − 3) = 2; 2) 1 + 2 logₓ 5 = log₅ x.

1) ОДЗ: \(x>3\). Объединяем логарифмы: \(\log_2(x(x-3))=2\), значит, \(x(x-3)=4\). Получаем \(x^2-3x-4=0\), откуда \((x-4)(x+1)=0\). Из корней ОДЗ удовлетворяет только \(x=4\).

2) ОДЗ: \(x>0\), \(x\ne1\). Обозначим \(t=\log_5 x\), тогда \(\log_x5=\frac1t\). Уравнение принимает вид \(1+\frac2t=t\), где \(t\ne0\). Умножая на \(t\), получаем \(t^2-t-2=0\), то есть \((t-2)(t+1)=0\). Следовательно, \(t=2\) или \(t=-1\). Возвращаясь к переменной \(x\): \(x=5^2=25\) или \(x=5^{-1}=\frac15\). Оба значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 1) \(x=4\); 2) \(x=25\) или \(x=\frac15\).