6. Найдите множество решений неравенства (log₀,₅ x)² − log₀,₅ x − 2 > 0.

ОДЗ: \(x>0\). Обозначим \(t=\log_{0.5}x\). Тогда \(t^2-t-2>0\), или \((t-2)(t+1)>0\). Отсюда \(t<-1\) либо \(t>2\).

Так как основание \(0.5\) меньше 1, функция \(y=\log_{0.5}x\) убывает. Поэтому \(\log_{0.5}x<-1\) равносильно \(x>(0.5)^{-1}=2\), а \(\log_{0.5}x>2\) равносильно \(0<x<(0.5)^2=\frac14\).

Ответ: \(x\in\left(0;\frac14\right)\cup(2;+\infty)\).