5. Решите уравнение \(\operatorname{ctg}\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=1\).

Котангенс равен 1, когда его аргумент равен \(\frac{\pi}{4}+\pi n\), поскольку период котангенса равен \(\pi\).

\[2x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{4}+\\pi n.\]

Вычтем \(\frac{\pi}{3}\) и разделим на 2:

\[2x=-\frac{\pi}{12}+\pi n,\qquad x=-\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.\]

Ответ: \(x=-\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z\).